Analiza wymiarowa

Czego chcielibyśmy wymagać od modelu?

  1. Żeby opisywał badane zjawisko.
  2. Żeby do opisu zjawiska używał możliwie najmniejszej liczby zmiennych (z jednej strony wygoda, z drugiej brzytwa Ockhama — Non sunt multiplicanda entia sine necessitate; Occam’s razor; z dwu teorii opisujących te same zjawisko prostsza jest lepsza).
  3. Zapewnienie niezmienniczości modelu matematycznego przy zmianie skal pomiarowych i układów jednostek.
  4. Umożliwienia weryfikacji hipotezy o kompletności lisy zmiennych opisujących badany proces.

Analiza wymiarowa jest narzędziem pozwalającym w uporządkowany sposób budować modele spełniające powyższe postulaty. Nie jest to proste, teoria jest dosyć zagmatwana i niezbyt popularna. Stefan Drobot, polski, wrocławski matematyk był mocno zaangażowany w jej rozwój.

Prosty przykład. Wahadło

Przykład skomplikowany: Bomba atomowa

Analiza wymiarowa jest dosyć skomplikowana. Po pierwsze trzeba wprowadzić przestrzeń wymiarową \Pi (jest ona multiplikatywną wersją „zwykłej” przestrzeni wymiarowej; multiplikatywność oznacza, że mnożenie i potęgowanie odgrywają tam główną rolę).

Następnie wprowadza się w przestrzeni wymiarowej pojęcie (wymiarowej) zależności elementów, oraz podstawowe jednostki stanowiące bazę przestrzeni. Niech E_1, E_2,\ldots, E_n będą bazą, wówczas każdą jednostkę można przedstawić w postaci iloczynu wektorów bazy podniesionych do odpowiednich potęg.

W kolejnym kroku wprowadza się w przestrzeni wymiarowej pojęcie klas równoważności, czyli takich elementów, dla których X*Y^{-1} \in \Pi_0 (\Pi_0 to po prostu R). W obrębie klasy można dodawać i odejmować, a także mnożyć i dzielić przez liczby bezwymiarowe. Działa tam też zbieżność ciągów, a więc również różniczkowanie.

Po przejściu tego kroku można wprowadzić pojęcie funkcji wymiarowej, czyli funkcji, której argumenty i wartości są wielkościami wymiarowymi.

Niektóre z funkcji wymiarowych spełniają postulat jednorodności wymiarowej (to znaczy, że po zmianie skali ich argumentów zmienia się skala wyniku) oraz niezmienniczości (zastosowanie takiego samego przekształcenia do wszystkich argumentów funkcji skutkuje takim samym przekształceniem wartości funkcji.

Fundamentalne dla analizy wymiarowej twierdzenie π mówi, że w przypadku funkcji jednorodnej wymiarowo i niezmienniczej jeżeli część argumentów funkcji jest niezależna wymiarowo, a reszta zależna to istnieje równoważna jej funkcja liczbowo-liczbowa (niewymiarowa) przemnożona przez pewien współczynnik wymiarowy.

Twierdzenie te pozwala ma przeniesienie zadania identyfikacji funkcji z przestrzeni wymiarowej do przestrzeni liczbowej (czyli tam gdzie lubimy…).

Dalszy ciąg: Analiza wymiarowa (cd)