Analiza wymiarowa (cd)

  1. Przestrzeń wymiarowa, to system algebraiczny \mathbf{\Pi}=\left(\Pi;\odot,{}^{[a]}\right) przy czym (\Pi;\odot) jest grupą abelową, a potęgowanie spełnia aksjomaty mnożenia przez skalar; dodatkowo R^+=\Pi_0\subset\Pi
  2. W przestrzeni wprowadzamy pojęcie wymiarowej zależności. Pozwala to na wprowadzenie układu jednostek E_1, E_2,\ldots, E_n (z definicji wymiarowo niezależnego). Każdą wielkość Z_0\in\Pi_n można przedstawić w postaci: \mathbf{Z}_0=Z_0\prod_{k=1}^n\mathbf{E}_k^{z_k},\, Z_0\in \Pi_0;\; z_k\in R
  3. Twierdzenie o niezależności
    Jeżeli wielkości wymiarowe \mathbf{Z}_1, \mathbf{Z}_2,\ldots,\mathbf{Z}_m \in \Pi_n wyrazimy w układzie jednostek wzorami \mathbf{Z}_i=Z_i\prod_{k=1}^n\mathbf{E}_k^{z_{ik}}\quad Z_i\in\Pi_0;\; z_{ik}\in R;\;i=1,2,\ldots,m;\;m \le n to żeby wielkości \mathbf{Z} były wymiarowo niezależne potrzeba i wystarcza, żeby macierz utworzona z wykładników występujących w powyższym wzorze była rzędu m
  4. W przestrzeni możemy mieć więcej niż jeden układ jednostek.
  5. Relacja równoważności: dwie wielkości \mathbf{X},\mathbf{Y}\in \Pi mają ten sam wymiar gdy \mathbf{X}\mathbf{Y}^{-1}\in\Pi_0. Relacja ta dzieli elementy przestrzeni wymiarowej na rozłączne klasy w ten sposób, że do jednej klasy należą elementy o tym samym wymiarze. W obrębie klasy można wprowadzić operacje dodawania i odejmowania, liczyć granice ciągów i różniczkować.
  6. Zasadnicze znaczenie dla analizy wymiarowej ma pojęcie funkcji wymiarowej czyli funkcji o wartościach i argumentach wymiarowych:

        \[\mathbf{Z}_0=\mathbf{\Phi}(\mathbf{Z}_1,\mathbf{Z}_2,\ldots,\mathbf{Z}_s); \; \mathbf{Z}_i\in\Pi_n\]

  7. Jeżeli funkcja \mathbf{\Phi} spełnia warunki \textbf{jednorodności wymiarowej} (dla każdego zestawu \gamma_1,\gamma_2,\ldots,\gamma_s\in \Pi_0 istnieje takie \gamma: \mathbf{\Phi}(\gamma_1\mathbf{Z_1}, \gamma_2\mathbf{Z_2},\ldots,\gamma_s\mathbf{Z_s}) = \gamma\mathbf{Z}_0) oraz \textbf{niezmienniczości} (dla przekształcenia \Theta spełniona jest równość \mathbf{\Phi}(\Theta\mathbf{Z}_1, \Theta\mathbf{Z}_2,\ldots,\Theta\mathbf{Z}_s)=\Theta\mathbf{Z}_0) nazywana jest funkcją wymiarowo jednorodną i niezmienniczą. Prawdziwe jest Twierdzenie \pi:
  8. Jeżeli w wymiarowo jednorodnej i niezmienniczej funkcji \mathbf{\Phi} argumenty \mathbf{Z}_1, \mathbf{Z}_2,\ldots,\mathbf{Z}_m są wymiarowo niezależne, a argumenty \mathbf{Z}_{m+j}, j=1,2,\ldots,r,\, m+r=s są wymiarowo zależne, tzn. \mathbf{Z}_{m+j}=\varphi_j\prod_{i=1}^m\mathbf{Z}_i^{\alpha_{ij}} to funkcja \mathbf{\Phi} ma postać

        \[\mathbf{Z}_0=\mathbf{\Phi}(\mathbf{Z}_1,\mathbf{Z}_2,\ldots,\mathbf{Z}_m, \mathbf{Z}_{m+1},\ldots, \mathbf{Z}_s) = f(\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_s)\prod_{i=1}^m \mathbf{Z}_i^{\alpha_{0i}}\]

  9. Twierdzenie \pi jest ważne, gdyż pozwala przekształcić funkcję wymiarową \mathbf{\Phi} do iloczynu funkcji liczbowej i pewnego wyrażenia wymiarowego. Pozwala to przenieść zadanie identyfikacji z przestrzeni wymiarowej do liczbowej.