Wahadło

Wszyscy wiemy czym jest wahadło: niewielka masa zawieszona na jak najlżejszym sznureczku. Cechą charakterystyczną jest (stosunkowo) duża stałość okresu drgań.

Popatrzmy na wahadło jak na obiekt eksperymentu mającego na celu opisać jego zachowanie (czyli prowadzącego do wyprowadzenia wzoru na okres drgań wahadła).

Zacznijmy od listy wielkości mających wpływ na zachowanie wahadła:

  1. Długość l o wymiarze [L]
  2. Masa m o wymiarze [M]
  3. Grawitacja g o wymiarze [L/T^2]
  4. Amplituda oscylacji a o wymiarze [L]

Interesuje nas okres drgań T o wymiarze [T]

Wzór opisujący okres drgań powinien mieć postać multiplikatywną (czemu?) i powinien wyglądać jakoś tak:

    \[T = \operatorname{const} l^p m^q a^r g^s\]

Wymiar lewej i prawej strony musi być taki sam, zatem:

    \[[T] = [L]^p [M]^q [L]^r [LT^{-2}]^s\]

Pierwszy wniosek jest taki: skoro po lewej stronie nie ma [M], to po prawej stronie musi być q = 0.

p+r+s=0s=-0.5 zatem p+r=0.5

Okres drgań wahadła nie zależy od masy! Możemy to sprawdzić za pomocą eksperymentu.

Przeprowadzona analiza nie daje odpowiedzi czy okres drgań wahadła zależy od amplitudy. Tu znowu może przydać się eksperyment (zapraszam do przeprowadzenia). W końcu powinno wyjść, że r=0p = 0.5. Ostatecznie równanie przyjmuje postać:

    \[T = \operatorname{const} \sqrt{\frac{l}{g}}\]

Do wyznaczenia stałej również trzeba użyć eksperymentu

    \[\operatorname{const} = \frac{T}{\sqrt{\frac{l}{g}}}\]

Zachęcam.