Wielomian 20-tego stopnia

\(\require{color}\)

Wielomian dwudziestego stopnia

W rozdziale [section:uwarunkowanie] rozpatrywany jest wielomian o postaci:

$$w(x) =\prod_{i=1}^{20} (x-i)= \sum_{i=0}^{20} a_ix^i$$

Aby wyznaczyć jego współczynniki użyłem programu Mathematica, który znakomicie nadaje się do przeprowadzania obliczeń symbolicznych (to znaczy potrafi przeprowadzić wszystkie obliczenia w sposób „tradycyjny” — wykonując odpowiednie przekształcenia.

Wielomian zapisałem w postaci bardzo klasycznej:

\(\pmb{\text{Product}[x-i,\{i,1,20\}]]}\)

Następnie poprosiłem aby ten zwięzły zapis przeliczył do postaci tradycyjnej:

\(\pmb{\text{Expand}[\text{Product}[x-i,\{i,1,20\}]]}\)

W wyniku otrzymałem współczynniki wielomianu:

\(2432902008176640000-8752948036761600000 x+\\13803759753640704000 x^2- 12870931245150988800 x^3+\\8037811822645051776 x^4-3599979517947607200 x^5+\\ 1206647803780373360 x^6-311333643161390640 x^7+\\63030812099294896 x^8- 10142299865511450 x^9+\\1307535010540395 x^{10}-135585182899530 x^{11}+\\ 11310276995381 x^{12}-756111184500 x^{13}+\\ 40171771630 x^{14}-1672280820 x^{15}+53327946 x^{16}-\\1256850 x^{17}+20615 x^{18}-210 x^{19}+x^{20}\)

Następnie dokonałem modyfikacji współczynnika stojącego prze dziewiętnastej potędze i kazałem rozwiązać tak zmodyfikowane zadanie:

\({\text{result}=}\\ {N[}\\ {\text{Solve}[2432902008176640000-8752948036761600000 x+}\\ {13803759753640704000 x^2-12870931245150988800 x^3+}\\ {8037811822645051776 x^4-3599979517947607200 x^5+}\\ {1206647803780373360 x^6-311333643161390640 x^7+\\63030812099294896 x^8-} 10142299865511450 x^9+\\1307535010540395 x^{10}-135585182899530 x^{11}+\\ 11310276995381 x^{12}-756111184500 x^{13}+\\ 40171771630 x^{14}- 1672280820 x^{15}+ 53327946 x^{16}-\\1256850 x^{17}+20615 x^{18}-\textcolor{magenta}{\left(210+2^{-23}\right)} x^{19}+x^{20}== {0,x]]}\)

(Zmodyfikowany współczynnik oznaczony jest innym kolorem.)

Otrzymałem wynik typowy dla programu Mathematica:

{{x → 1.}, {x → 2.}, {x → 3.}, {x → 4.}, {x → 5.}, {x → 6.00001}, {x → 6.9997}, {x → 8.00727}, {x → 8.91725}, {x → 20.8469}, {x → 10.0953  − 0.643501i}, {x → 10.0953  + 0.643501i}, {x → 11.7936  − 1.65233i}, {x → 11.7936  + 1.65233i}, {x → 13.9924  − 2.51883i}, {x → 13.9924  + 2.51883i}, {x → 16.7307  − 2.81262i}, {x → 16.7307  + 2.81262i}, {x → 19.5024  − 1.94033i}, {x → 19.5024  + 1.94033i}}

Jak widać, część rozwiązań jest rzeczywista: 1, 2, 3, 4, 5, 6,  ∼ 7,  ∼ 8,  ∼ 9,  ∼ 21. Pozostałe są zespolone. Pytanie na ile ich moduły różnią się od kolejnych liczb naturalnych9?

Aby z wyniku (zapisanego w zmiennej result wydobyć poszczególne wartości należy użyć specjalnego operatora /. (Zamień wszystko10), a następnie wyliczamy wartość bezwzględną

(\pmb{\text{Abs}[x\text{/.}\text{result}]}\)

Wynik:

{1., 2., 3., 4., 5., 6.00001, 6.9997, 8.00727, 8.91725, 20.8469, 10.1158, 10.1158, 11.9088, 11.9088, 14.2173, 14.2173, 16.9655, 16.9655, 19.5987, 19.5987}

Widać wyraźnie, że tak nieistotna — na pierwszy rzut oka — zmiana parametru, tak odmieniła wynik.


  1. Zwracam uwagę, że wielomian stopnia dwudziestego może mieć co najwyżej dwadzieścia miejsc zerowych. W przypadku, gdy niektóre z nich są liczbami zespolonymi, to również liczba sprzężona będzie pierwiastkiem. Więc na pewno pozostałe pierwiastki nie wpasują się w kolejne liczby naturalne.
  2. http://reference.wolfram.com/language/ref/ReplaceAll.html