Macierze
Aby wprowadzić macierz można napisać tak:
1 2 3 4 5 |
>> [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Znak ; (średnik) oddziela kolejne wiersze.
Cechą charakterystyczną Matlaba jest to, że tablic nie trzeba deklarować, nie trzeba też podawać rozmiaru, który zajmują. Zmienna może łatwo zmieniać swój charakter:
1 2 3 4 5 6 7 |
>> a=2 a = 2 >> a=[1 2; 0 1] a = 1 2 0 1 |
Wszystkie działania arytmetyczne uogólniane są tak, by również dotyczyły tablic:
- \(+\)
- suma; jeżeli składniki są tablicami — muszą mieć jednakowy rozmiar; można dodać skalar do tablicy dowolnego rozmiaru:
1234>> [1 2; 0 1]+3ans =4 53 4 - \(-\)
- różnica; uwagi jak wyżej
- \(*\)
- iloczyn macierzy; obowiązują zasady obowiązujące w rachunku macierzowym; jeżeli chcemy wykonać działanie \(A*B\) to liczba kolumn \(A\) musi być taka sama jak liczba wierszy \(B\); macierz o dowolnych wymiarach może być mnożona przez skalar.
- \(.*\)
- iloczyn ,,tablicowy” (aby wykonać \(C=A.*B\) obie macierze po prawej stronie znaku równości muszą mieć jednakowe wymiary (chyba, że jedna ze zmiennych jest skalarem); Wynikiem jest macierz, której elementy
C(i,j)=A(i,j)*B(i,j)
1234>> [1 2; 3 4].*[9 9; 9 9]ans =9 1827 36 - \
- ,,lewy” iloraz macierzy: jeżeli \(A\) i \(B\) są macierzami kwadratowymi to \(A \setminus B = A^{-1}*B\). Gdy \(A\) jest macierzą o wymiarach \(n\times n\), a \(B\) jest wektorem kolumnowym o wymiarze \(n\) wówczas \(X=B \setminus A\) jest rozwiązaniem układu równań liniowych \(A*X=B\).
W przypadku gdy \(A\) ma wymiary \(m\times n\) gdzie \(m\not= n\) a \(B\) jest wektorem kolumnowym o \(m\) składowych (lub macierzą o kilku takich kolumnach) to \(X=B \setminus A\) jest uogólnionym rozwiązaniem (w sensie najmniejszych kwadratów) układu równań \(A*X=B\)
- .\
- ,,lewy” iloraz tablicowy: jeżeli macierze \(A\) i \(B\) mają jednakowe wymiary to wynikiem działania \(A.\setminus B\) jest macierz o elementach \(B(i,j)/A(i,j)\). (\(A\) albo \(B\) może być skalarem!)
- \(/\)
- iloraz macierzy \(A/B=A*B^{-1}\). Można również pokazać, że \(B/A=(A’\setminus B’)’\) (gdzie \(’\) to symbol transpozycji — patrz dalej).
- \(./\)
- „prawy” iloraz tablic (każdy element jednej tablicy dzielony jest przez odpowiadający mu element drugiej),
- ^
- potęga macierzowa (podnosi macierz A do potęgi B)
- .^
- każdy element jednej tablicy podnosi do potęgi zapisanej w odpowiednim miejscu drugiej tablicy (\(a_{ij}^{b_{ij}}\)).
- \(’\)
- sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycja + sprzężenie zespolone), ma istotne znaczeni e gdy macierz jest zespolona!
- \(.’\)
- tylko transpozycja (ma istotne znaczeni e gdy macierz jest zespolona!)
Poniższe dwie tabele zawierają podsumowanie.
Operator |
Zastosowanie |
Opis |
+ |
Suma |
A+B dodaje A do B. |
+ |
Unary plus |
+A zwraca A. |
– |
Różnica |
A-B odejmuje B od A |
– |
Unary minus |
-A zmiania znak elementów A. |
.* |
Element-wise multiplication |
A.*B wyznacza iloczyn odpowiadających elementów A i B. |
.^ |
Element-wise power |
A.^B jest macierzą o elementach A(i,j) do potęgi B(i,j). |
./ |
„Prawe” dzielenie tablic |
A./B jest macierzą o elementach A(i,j)/B(i,j). |
.\ |
„Lewe” dzielenie tablic |
A.\B jest macierzą o elementach B(i,j)/A(i,j). |
.’ |
Transpozycja tablicy |
A.’ jest macierzą transponowaną macierzy A. W przypadku macierzy zespolonych nie jest wyliczane sprzężenie |
Operator |
Zastosowanie |
Opis |
* |
Mnożenie macierzy |
C =A*B jest iloczynem macierzy A i B. Liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B. |
/ |
„Prawe” dzielenie macierzy |
x = B/A jest rozwiązaniem równania xA = B. Macierze A i B muszą mieć te samą liczbę kolumn. W terminach „lewego” dzielenia, B/A = (A’\B’)’. |
\ |
„Lewe” dzielenie macierzy |
x = A\B jest rozwiązaniem równania Ax = B. macierze A i B muszą mieć tę samą liczbę wierszy. |
^ |
Potęgowanie macierzowe |
A^B to A podniesione do potęgi B, jeżeli B jest skalarem. Dla innych wartości B, w obliczeniach używa się wartości włąsnych i wektorów własnych. |
’ |
Zespolone sprzężenie i transpozycja |
A’ to transozycja macierzyA.Dla macierzy zespolonych wykliczane jest sprzężenie macierzy. |