Macierze

Macierze

Aby wprowadzić macierz można napisać tak:

Znak ; (średnik) oddziela kolejne wiersze.

Cechą charakterystyczną Matlaba jest to, że tablic nie trzeba deklarować, nie trzeba też podawać rozmiaru, który zajmują. Zmienna może łatwo zmieniać swój charakter:

Wszystkie działania arytmetyczne uogólniane są tak, by również dotyczyły tablic:

\(+\)
suma; jeżeli składniki są tablicami — muszą mieć jednakowy rozmiar; można dodać skalar do tablicy dowolnego rozmiaru:
\(-\)
różnica; uwagi jak wyżej
\(*\)
iloczyn macierzy; obowiązują zasady obowiązujące w rachunku macierzowym; jeżeli chcemy wykonać działanie \(A*B\) to liczba kolumn \(A\) musi być taka sama jak liczba wierszy \(B\); macierz o dowolnych wymiarach może być mnożona przez skalar.
\(.*\)
iloczyn ,,tablicowy” (aby wykonać \(C=A.*B\) obie macierze po prawej stronie znaku równości muszą mieć jednakowe wymiary (chyba, że jedna ze zmiennych jest skalarem); Wynikiem jest macierz, której elementy C(i,j)=A(i,j)*B(i,j)
\
,,lewy” iloraz macierzy: jeżeli \(A\)\(B\) są macierzami kwadratowymi to \(A \setminus B = A^{-1}*B\). Gdy \(A\) jest macierzą o wymiarach \(n\times n\), a \(B\) jest wektorem kolumnowym o wymiarze \(n\) wówczas \(X=B \setminus A\) jest rozwiązaniem układu równań liniowych \(A*X=B\).

W przypadku gdy \(A\) ma wymiary \(m\times n\) gdzie \(m\not= n\)\(B\) jest wektorem kolumnowym o \(m\) składowych (lub macierzą o kilku takich kolumnach) to \(X=B \setminus A\) jest uogólnionym rozwiązaniem (w sensie najmniejszych kwadratów) układu równań \(A*X=B\)

.\
,,lewy” iloraz tablicowy: jeżeli macierze \(A\)\(B\) mają jednakowe wymiary to wynikiem działania \(A.\setminus B\) jest macierz o elementach \(B(i,j)/A(i,j)\). (\(A\) albo \(B\) może być skalarem!)
\(/\)
iloraz macierzy \(A/B=A*B^{-1}\). Można również pokazać, że \(B/A=(A’\setminus B’)’\) (gdzie \(‚\) to symbol transpozycji — patrz dalej).
\(./\)
„prawy” iloraz tablic (każdy element jednej tablicy dzielony jest przez odpowiadający mu element drugiej),
^
potęga macierzowa (podnosi macierz A do potęgi B)
.^
każdy element jednej tablicy podnosi do potęgi zapisanej w odpowiednim miejscu drugiej tablicy (\(a_{ij}^{b_{ij}}\)).
\(‚\)
sprzężenie hermitowskie macierzy (transpozycja + sprzężenie zespolone), ma istotne znaczeni e gdy macierz jest zespolona!
\(.’\)
tylko transpozycja (ma istotne znaczeni e gdy macierz jest zespolona!)

Poniższe dwie tabele zawierają podsumowanie.

Operator

Zastosowanie

Opis

 
     
+

Suma

A+B dodaje A do B.

+

Unary plus

+A zwraca A.

Różnica

A-B odejmuje B od A

Unary minus

-A zmiania znak elementów A.

.*

Element-wise multiplication

A.*B wyznacza iloczyn odpowiadających elementów AB.

.^

Element-wise power

A.^B jest macierzą o elementach A(i,j) do potęgi B(i,j).

./

„Prawe” dzielenie tablic

A./B jest macierzą o elementach A(i,j)/B(i,j).

.\

„Lewe” dzielenie tablic

A.\B jest macierzą o elementach B(i,j)/A(i,j).

.’

Transpozycja tablicy

A.’ jest macierzą transponowaną macierzy A. W przypadku macierzy zespolonych nie jest wyliczane sprzężenie

 
 
 
 
 

Operator

Zastosowanie

Opis

 
     
*

Mnożenie macierzy

C =A*B jest iloczynem macierzy AB. Liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B.

/

„Prawe” dzielenie macierzy

x = B/A jest rozwiązaniem równania xA = B. Macierze AB muszą mieć te samą liczbę kolumn. W terminach „lewego” dzielenia, B/A = (A’\B’)’.

\

„Lewe” dzielenie macierzy

x = A\B jest rozwiązaniem równania Ax = B. macierze AB muszą mieć tę samą liczbę wierszy.

^

Potęgowanie macierzowe

A^B to A podniesione do potęgi B, jeżeli B jest skalarem. Dla innych wartości B, w obliczeniach używa się wartości włąsnych i wektorów własnych.

Zespolone sprzężenie i transpozycja

A’ to transozycja macierzyA.Dla macierzy zespolonych wykliczane jest sprzężenie macierzy.