R\u00f3\u017cne s\u0105 bajeczki. Ta jest matematyczna. A wnioski zastanawiaj\u0105ce…<\/p>\n
Za siedmioma maksimami funkcji „sinus”, za jedenastoma minimami funkcji „cosinus” \u017cy\u0142y sobie trzy wektory: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. \u017baden z nich nie by\u0142 ortogonalny do swoich braci i \u017caden nie wyd\u0142u\u017ca\u0142 si\u0119 ponad miar\u0119. \u017byli pracowicie, cicho i skromnie, s\u0142u\u017c\u0105c wiernie panu swemu – Wyznacznikowi. Od \u015bwitu do nocy przesuwali bracia linie proste, obliczali iloczyny skalarne i k\u0105ty nachylenia, podpierali okr\u0119gi w ich punktach styczno\u015bci i wystawiali swoje grzbiety prostopadle do r\u00f3\u017cnych krzywych, kt\u00f3re zadawa\u0142 im ekonom, bezlitosny Minor. Pomimo to byli szcz\u0119\u015bliwi. W wolnych chwilach uprawiali swoje w\u0142asne, styczne do chatki, pole wektorowe – a cho\u0107 skromne to by\u0142o poletko (troch\u0119 snop\u00f3w koherentnych, nieco li\u015bci Kartezjusza, dwa czy trzy \u015blimaki Pascala), przecie nie narzekali na sw\u00f3j wektorowy los.<\/p>\n
Ale nied\u0142ugo trwa\u0142o szcz\u0119\u015bcie braci. „Obr\u00f3c\u0119 p\u0142aszczyzn\u0119 o k\u0105t fi i przyr\u00f3wnam ka\u017cdemu jedn\u0105 wsp\u00f3\u0142rz\u0119dna do zera” – zagrozi\u0142 Minor. A jak\u017ce to \u017cy\u0107 wektorowi na p\u0142aszczy\u017anie z jedn\u0105 tylko wsp\u00f3\u0142rz\u0119dn\u0105? Zmartwili si\u0119 bracia i postanowili uciec od Wyznacznika i jego Minora tam, gdzie znajd\u0105 dogodny i prawy uk\u0142ad wsp\u00f3\u0142rz\u0119dnych. Pok\u0142onili si\u0119 starej Macierzy, podj\u0119li j\u0105 za kolumny, po raz ostatni obejrzeli si\u0119 na swoje, teraz ju\u017c zdegenerowane, pole wektorowe, zaczerpn\u0119li potencja\u0142u ze studni i poszli po trajektorii przed siebie.<\/p>\n
Id\u0105, id\u0105, id\u0105 – rodzinna chatynka widnieje na horyzoncie ju\u017c pod k\u0105tem mniejszym ni\u017c epsilon (a trzeba ci wiedzie\u0107, \u017ce dawniej nie takie epsilony bywa\u0142y, jak dzi\u015b) – a\u017c tu nagle strumyk paraboliczny przed nimi si\u0119 modrzy i akurat zmienia znak pochodnej. „Ech, po\u0142owi\u0107 by rybki-skalary” westchn\u0105\u0142 Alfa Jeden. „A czemu nie?” – zgodzili si\u0119 bracia. Z punktu brzegowego zarzucili do wody siec, skonstruowana uprzednio w misterny spos\u00f3b za pomoc\u0105 cyrkla i linijki. Ci\u0105gn\u0105, patrz\u0105, oczom nie wierz\u0105: w sieci pi-ryba trzepocze, ludzkim g\u0142osem przemawia: „Wypu\u015bcie mnie, mile\u0144cy moi, a ja si\u0119 wam odwdzi\u0119cz\u0119”. Wypu\u015bcili bracia pi-rybe na wolno\u015b\u0107 i id\u0105 dalej. Patrz\u0105, a przy drodze ma\u0142y Argument le\u017cy. Pr\u00f3buje si\u0119 podnie\u015b\u0107 do kwadratu, ale \u017ce schud\u0142 ju\u017c bardzo i jest mniejszy od 1, wiec co pomno\u017cy si\u0119 przez siebie, to staje si\u0119 jeszcze mniejszy. Ulitowali si\u0119 nad nim bracia, dodali do niego 1 i dopiero potem podnie\u015bli do kwadratu, potem jeszcze raz i jeszcze raz. Wzr\u00f3s\u0142 Argument i powiada: „Dzi\u0119kuj\u0119 wam pi\u0119knie. Id\u017acie swoja droga, a ja jeszcze si\u0119 wam przydam”. Nie zd\u0105\u017cyli bracia ani 2^(-n) mili przej\u015b\u0107, patrz\u0105, stoi przy drodze chatka na kurzej \u0142apce. „Hej chatko, chatko, odwr\u00f3\u0107 si\u0119 do nas plusem, do lasu minusem” – wo\u0142aj\u0105. Zako\u0142ysa\u0142a si\u0119 chatka, odwr\u00f3ci\u0142a. Otwar\u0142y si\u0119 drzwi. Weszli bracia i dusza im si\u0119 raduje. Stoi pod piecem st\u00f3\u0142, wszelkim jad\u0142em zastawiony. Podjedli bracia, odpocz\u0119li, potem zn\u00f3w pojedli i zn\u00f3w odpocz\u0119li, nast\u0119pnie trzeci, czwarty, … n-ty raz pojedli i odpocz\u0119li. Ju\u017c, ju\u017c mieli przej\u015b\u0107 z n do granicy, a tu nagle zza pieca wychodzi stw\u00f3r kosmaty: jakby kwantyfikator, ale czy on og\u00f3lny, czy szczeg\u00f3lny – nie odr\u00f3\u017cnisz. „Bracia, bracia, ratujcie mnie. Ju\u017c p\u00f3\u0142 \u017cycia siedz\u0119 tu pod w\u0142adz\u0105 czarownika de Morgana za to, \u017ce odmawia\u0142em zaprzeczenia implikacji.” Wzruszyli si\u0119 bracia losem Kwantyfikatora i zabrali go ze sob\u0105. Id\u0105 weso\u0142o przed siebie. Obejrzeli si\u0119. Leci po niebie strza\u0142a. Uderzy\u0142a o ziemie, schowa\u0142a ostrze, wygi\u0119\u0142a si\u0119 z\u0142owrogo i zmieni\u0142a si\u0119 w \u015bliski, ohydny znak negacji. „Uciekajmy co sil w nogach – wykrzykn\u0105\u0142 Kwantyfikator – bo nas tu wszystkich zaneguje”. Pu\u015bcili si\u0119 bracia p\u0119dem, uciekli de Morganowi.<\/p>\n
Bajka prz\u0119dzie si\u0119 ko\u0142em, rzecz si\u0119 toczy z mozo\u0142em. D\u0142ugo trwa\u0142o, zanim ujrzeli bracia przed sob\u0105 mury prastarego grodu Trygonoma, kt\u00f3ry jeszcze car Heron wybudowa\u0142. I ros\u0142y przed bra\u0107mi mury Trygonoma tak, jak ro\u015bnie wykres funkcji y = 1\/x przy x d\u0105\u017c\u0105cym do zera z prawej strony. I rozbiega\u0142y si\u0119 z trzech wie\u017c Trygonomu promienie z\u0142ociste tak, jak s\u0105 rozbie\u017cne sumy cz\u0119\u015bciowe szeregu harmonicznego 1+1\/2+1\/3+1\/4+1\/5+… Zaszli bracia do gospody „Pod Pierwiastkiem”, pogadali z karczmarka, gruba Sigma. Opowiedzia\u0142a ona o wielkim nieszcz\u0119\u015bciu, jakie przed laty nawiedzi\u0142o prastary Trygonom. Panowa\u0142 by\u0142 w Trygonomie teraz ju\u017c stary i siwiute\u0144ki ksi\u0105\u017c\u0119 Tangens wraz ze swa pi\u0119kn\u0105 niegdy\u015b ma\u0142\u017conk\u0105 Tangensoida. Mieli przed laty \u015bliczn\u0105 c\u00f3reczk\u0119 Asymptote, ukochana obojga ksi\u0119stwa i ludu. Mia\u0142a by\u0107 podpor\u0105 dla rodzic\u00f3w na stare lata, gdy ju\u017c blisko im b\u0119dzie do niesko\u0144czono\u015bci. Ali\u015bci zdarzy\u0142a si\u0119 rzecz straszna. Na uroczyste nadanie kierunku Asymptocie nie zaproszono starej wr\u00f3\u017cki Transpozycji. By\u0142a to z\u0142a wr\u00f3\u017cka i prawd\u0119 powiedziawszy, nikt jej w ksi\u0119stwie nie lubi\u0142, a i ona stroni\u0142a od ludzi. Jednak, gdy dowiedzia\u0142a si\u0119, \u017ce nie zosta\u0142a elementem zbioru go\u015bci, z zemsty wyrzek\u0142a przepowiednie, \u017ce gdy ksi\u0119\u017cniczka dojdzie do lat siedemnastu, porwie ja de Morgan.<\/p>\n
Nie bali si\u0119 tej wr\u00f3\u017cby Tangens i Tangensoida. Wyznawali bowiem logik\u0119 wielowarstwow\u0105 i nie przypisywali przepowiedni Transpozycji \u017cadnej dodatniej warto\u015bci. Na dow\u00f3d tego w dniu 17-tych urodzin Asymptoty wyprawiono wielki bal. Nie by\u0142o r\u00f3wnego mu balu ani przedtem, ani potem w ca\u0142ym obszarze ci\u0105g\u0142o\u015bci Tangensa. M\u0142ody lokaj Gauss, \u015bwie\u017co uko\u0144czywszy dow\u00f3d konstrukcji, pi\u0119knie przystroi\u0142 sale balowe siedemnastok\u0105tami foremnymi. Przyby\u0142y na bal wszystkie pokrewne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne, ksi\u0105\u017c\u0119ta dx i dy, a nawet stary dziwak Area-Cosinus Hiperboliczny, kt\u00f3rego nikt nigdy bez krzywej \u0142a\u0144cuchowej nie widzia\u0142. Kto chcia\u0142, ta\u0144czy\u0142, kto nie chcia\u0142 – robi\u0142 co innego, bo kraj by\u0142 demokratyczny. Starsi wspominali czasy, gdy jeszcze wzrastali i mieli dodatni\u0105 pochodn\u0105, \u015bredni wiekiem robili analiz\u0119 harmoniczna swoim towarzyszkom, nieprzeliczalna s\u0142u\u017cba na ka\u017cde skinienie r\u00f3\u017cniczkowa\u0142a go\u015bciom jad\u0142o i napitki. W zacisznych k\u0105cikach m\u0142odzi ca\u0142kowali si\u0119 ukradkiem po dt, ale zanadto si\u0119 z tym nie kryli. Ksi\u0105\u017ce bowiem rozumia\u0142 m\u0142odzie\u017c i niejedna m\u0142oda wypuk\u0142a funkcja znalaz\u0142a na jego dworze styczno\u015b\u0107 drugiego rz\u0119du z jakim\u015b przystojnym i silnie zbie\u017cnym funkcjona\u0142em.<\/p>\n
Nag\u0142y podmuch zgasi\u0142 wszystkie \u015bwiece, w\u015br\u00f3d go\u015bci pojawi\u0142y si\u0119 zbiory rozmyte, a gdy fagasi wnie\u015bli nowe, punktowe \u017ar\u00f3d\u0142a \u015bwiat\u0142a, wtedy okaza\u0142o si\u0119, \u017ce w\u015br\u00f3d uczestnik\u00f3w balu nie ma ju\u017c Asymptoty-krasawicy. Wykazano wnet (indukcyjnie, \u017ce wzgl\u0119du na liczb\u0119 obecnych na sali go\u015bci), \u017ce porwa\u0142 j\u0105 de Morgan, zaprzeczaj\u0105c rozkazom ksi\u0119cia i warunkom wej\u015bcia na bal. Tak oto spe\u0142ni\u0142a si\u0119 przepowiednia wr\u00f3\u017cki Transpozycji. Od tej pory smutek zapanowa\u0142 w ca\u0142ym grodzie. Nikt nie rozwija si\u0119 w szereg, nie ca\u0142kuje i nie mno\u017cy. M\u0142ode R\u00f3\u017cniczki dawno ju\u017c zmieni\u0142y si\u0119 w stare R\u00f3\u017cnice, ma\u0142o kt\u00f3re zmieni\u0142y znak z – na +. Po bokach tr\u00f3jk\u0105t\u00f3w grasuj\u0105 zdzicza\u0142e k\u0105ty i nie zawsze staremu wiernemu hajdukowi Euklidesowi uda si\u0119 je zsumowa\u0107 do 180 stopni.<\/p>\n
G\u0142\u0119boko zapad\u0142a braciom w dusze opowie\u015b\u0107 Sigmy i postanowili wyzwoli\u0107 z r\u0105k de Morgana nadobn\u0105 Asymptot\u0119. Udali si\u0119 najpierw do wr\u00f3\u017ca Bezouta. Siedzi Bezout za sto\u0142em, pierwiastki liczy ko\u0142em, gdy nie masz „u”, kolego, nie przychod\u017a do niego. Przynie\u015bli bracia cztery nietrywialne pierwiastki, wr\u0119czaj\u0105 Bezoutowi i pytaj\u0105, jak pokona\u0107 de Morgana. „Trudna to sprawa – rzecze Bezout. – Wi\u0119zi on wiele kwantyfikator\u00f3w i pokona\u0107 go tylko mo\u017cecie \u015bmia\u0142o omijaj\u0105c prawo wy\u0142\u0105czonego \u015brodka. Ale oto ciemnieje moja kryszta\u0142owa pseudosfera: znak, \u017ce uda si\u0119 wasze przedsi\u0119wzi\u0119cie.”<\/p>\n
Podzi\u0119kowali bracia Bezoutowi, dodali jeszcze trzy pierwiastki (niezwyczajne, kwadratowe) i stoczyli si\u0119 po linii najmniejszego spadku z mur\u00f3w Trygonoma. Kwantyfikator zosta\u0142 barmanem pod pierwiastkiem, a Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy poszli po gradiencie w kierunku widniej\u0105cego lasu, tak g\u0119stego, jak liczby wymierne po prostej. Jak tu przej\u015b\u0107? Ale oto machn\u0105\u0142 jeden brat przekrojem Dedekinda, machn\u0105\u0142 drugi, potem trzeci: skonstruowali bracia liczb\u0119 niewymierna 2^sqr(2) i przeszli przez las. Wnet zagrodzi\u0142 im drog\u0119 potok wype\u0142niony ciecz\u0105 nie\u015bci\u015bliw\u0105 i nielepk\u0105. Niezwyczajny to potok – pe\u0142en turbulentnych wir\u00f3w i punkt\u00f3w osobliwych. „Co robi\u0107?” – dumaj\u0105 bracia – „Gdyby\u017c mie\u0107 chocia\u017c spiral\u0119 logarytmiczn\u0105!”. Ale kt\u00f3\u017c to pyszczek z wody wystawia? Pi-ryba! Przewioz\u0142a braci, jednego po drugim, na drug\u0105 stron\u0119. Pok\u0142onili si\u0119 jej bracia w pas i poszli dalej, bo ju\u017c by\u0142o wida\u0107 ogromn\u0105 g\u00f3r\u0119 Modul, a na niej zamek de Morgana. Doszli bracia pod sam\u0105 g\u00f3r\u0119 i zmartwili si\u0119. Bo, wprawdzie do zamku droga prosta, stopnie zapraszaj\u0105 do wej\u015bcia, ale co to za stopnie? – \u015bliskie jak l\u00f3d, g\u0142adkie tak, \u017ce co postawisz nog\u0119 na jednym to spadasz na drugi, pr\u00f3buj\u0105 bracia i pr\u00f3buj\u0105, ale nawet na pierwszy stopie\u0144 wej\u015b\u0107 nie mog\u0105. Nagle jak spod ziemi wyrasta Argument – ten, kt\u00f3rego kiedy\u015b od znikni\u0119cia uratowali.<\/p>\n
Podstawi\u0142 si\u0119 Argument do zmiennej niezale\u017cnej, zaburzy\u0142 wsp\u00f3\u0142czynniki przy r\u00f3wnaniach schod\u00f3w, zmniejszy\u0142 g\u0142adko\u015b\u0107 i weszli bracia na g\u00f3r\u0119. Ale do samego zamku jeszcze d\u0142uga droga. Wej\u015bcia pilnuje pies Boole-dog, sier\u015b\u0107 na nim je\u017cy si\u0119 jak wykres funkcji y = sin 1\/x, szczerzy z\u0119by i warczy. Za Zapisem Peauceliera stoi: kto psa pokona, wnet go Inwersor w \u015brodek inwersji postawi i za p\u0142aszczyzn\u0119 wyrzuci. Nie stracili g\u0142owy bracia. Sinus 1\/x przez x pomno\u017cyli i go w zerze uci\u0105glili. Potem owin\u0119li si\u0119 wst\u0119g\u0105 Mobiusa i czekaj\u0105. Zabra\u0142 si\u0119 Inwersor do odwracania wst\u0119gi Mobiusa, ale \u017ce jest to powierzchnia jednostronna, nic si\u0119 braciom nie sta\u0142o.<\/p>\n
Wychodzi na to sam de Morgan z suk\u0105 Negacja, operatorem Minusem i starym czarownikiem Tercjanem. Wektorom znaki pozamienia\u0107 chce, od poprzednich warto\u015bci odj\u0105\u0107 i tak to przyr\u00f3wna\u0107 braci do zera. Pobledli bracia, „Ju\u017c po nas” – my\u015bl\u0105 – „Ju\u017c nie ujrzymy starej Macierzy”. I sta\u0142oby si\u0119 tak, gdyby nie Kwantyfikator „Istnieje Iks”, kt\u00f3ry w sam\u0105 por\u0119 przybieg\u0142 z Trygonomu, jeszcze w fartuchu barmana. Zagryz\u0142 Negacje, sta\u0142 si\u0119 kwantyfikatorem „Istnieje Iks taki, \u017ce Nieprawda \u017be Igrek” i zacz\u0105\u0142 przekszta\u0142ca\u0107 de Morgana, a bracia pomagali mu z drugiej strony. Rachunki logiczne przeprowadzaj\u0105, a z prawa wy\u0142\u0105czonego \u015brodka nie korzystaj\u0105. „Tertium non datur” – wo\u0142a de Morgan, ale Tercjan nie s\u0142yszy. Upad\u0142 de Morgan. Ju\u017c po nim. Otworzyli bracia de Morganowe nawiasy i zaraz ukaza\u0142a im si\u0119 d\u0142uga linia prosta, w kt\u00f3rej natychmiast rozpoznali ksi\u0119\u017cniczk\u0119 Asymptote. Wkr\u00f3tce nadjecha\u0142 i sam Tangens. Wzi\u0105\u0142 c\u00f3rk\u0119 w ramiona i rzek\u0142 braciom: „Mam j\u0105 tylko jedn\u0105, a was jest trzech. Niech najstarszy we\u017amie j\u0105 za \u017con\u0119. Dam mu dogodne wsp\u00f3\u0142rz\u0119dne: dwakro\u0107 PI\/2 i grup\u0119 Translacji w dziedziczne w\u0142adanie”.<\/p>\n
Nie min\u0119\u0142o i e niedziel, a w Trygonomie odby\u0142 si\u0119 huczny \u015blub, po kt\u00f3rym nast\u0105pi\u0142o skromne wesele. Byli na nim obecni wszyscy bracia: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. Przyby\u0142 (uszlachcony przez Tangensa) Argument w kokilce ci\u0105gnionej przez kare bu\u0142anki, Pi-ryba wyst\u0105pi\u0142a w przepi\u0119knej galarecie z jarmu\u017cem i bed\u0142kami, a piwo go\u015bciom rozlewa\u0142 sam Kwantyfikator, obecnie ju\u017c w\u0142a\u015bciciel zajazdu „U z daszkiem”. Nie musieli d\u0142ugo czeka\u0107 na ksi\u0119stwo. Alfa Jeden podzia\u0142a\u0142 sob\u0105 na ksi\u0119\u017cniczk\u0119 Asymptot\u0119 (teraz ju\u017c swoj\u0105 \u017con\u0119 x=PI\/2) tak, \u017ce na p\u0142aszczy\u017anie pojawi\u0142y si\u0119 wkr\u00f3tce w regularnych odst\u0119pach nowe asymptoty, a stary Tangens i Tangensoida mogli wreszcie spokojnie przej\u015b\u0107 do niesko\u0144czono\u015bci.<\/p>\n
Nades\u0142a\u0142 zaprzyja\u017aniony student. Dzi\u0119kuj\u0119<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
R\u00f3\u017cne s\u0105 bajeczki. Ta jest matematyczna. A wnioski zastanawiaj\u0105ce… Za siedmioma maksimami funkcji „sinus”, za jedenastoma minimami funkcji „cosinus” \u017cy\u0142y sobie trzy wektory: Alfa Jeden, Alfa Dwa i Alfa Trzy. \u017baden z nich nie by\u0142 ortogonalny do swoich braci i \u017caden nie wyd\u0142u\u017ca\u0142 si\u0119 ponad miar\u0119. \u017byli pracowicie, cicho i skromnie, s\u0142u\u017c\u0105c wiernie panu swemu … Czytaj dalej Bajeczka matematyczna<\/span>